数 number

1.　自然数（1,2,3…）が存在する。
　（自然数はペアノの公理系によって導かれる）

2.　四則演算（加減乗除）が行える。

3.　自然数（natural number : N）
　自然数は加法・乗法に関して閉じている。
　減法・除法に関しては閉じていない。

4.　整数（integer : Z）
　自然数が減法に関して閉じるため、0および負の整数が導入される。
　整数は加法・乗法・減法に関して閉じている。

5.　有理数（rational : Q）
　数が除法に関して閉じるため、分数a/b（a,bはいずれも整数）が導入される。
　有理数は四則演算のすべてに関して閉じている。

6.　実数（real : R）
　有理数は小数で表すと、つねに有限小数または循環無限小数となる。
　これに対して、循環しない無限小数があり、これを無理数 irrational numberという。
　有理数と無理数を合わせて実数という。

7.　複素数（complex number : C）
　負の実数の平方根が可能であると考え、これを虚数 imaginaryといい、　√-1 = i とおく。
　実数と虚数を総称して複素数といい、複素数は a + bi の形で表される。

　N：自然数全体の集合
　Z：整数全体の集合
　Q：有理数全体の集合
　R：実数全体の集合
　C：複素数全体の集合
とすると、
　N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

・有理数の稠密性
　任意の2つの有理数の間には、必ず有理数がある。

・実数の連続性
　数直線上に有理数を並べると、隙間ができる。この隙間は無理数によって埋められる。
　有理数と無理数を合わせた実数により、数直線上の点は全て埋め尽くされる。

【ペアノの公理 Peano axioms】
　公理1：1は自然数である。
　公理2：aが自然数であれば、aの後続数も自然数である。
　公理3：aとbが異なる自然数であれば、aの後続数とbの後続数は等しくない。
　公理4：1は、いかなる自然数の後続数でもない。
　公理5：1がある性質を持ち、自然数aがその性質を持てば、aの後続数もその性質を持つとき、全ての自然数はその性質を持つ。
　＊aの「後続数 successor : suc(a)」 = 「a+1」

【註記】

【参考】

【作成】2017-03-25